• Rüştü Erciyes Karakaya

SAYI PARÇALANIŞ PROVALARI

En son güncellendiği tarih: 4 gün önce



Sayı parçalanış teorisi en temelde sayıları sıfırdan farklı doğal sayıların toplamı şeklinde parçalayıp onlardan özdeşlikler üretmeyi amaçlar.


Aritmetiğin temel teoreminden de bildiğimiz üzere doğal sayılar asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilirler. Buradan hareketle doğal sayılar belirli koşullarda başka doğal sayıların toplamı şeklinde yazılabilirler varsayımı üzerinden bir analoji kurabiliriz. Bahsettiğim bu belirli koşullar sayı parçalanış teorisi açısından özdeşlik üretmenin temel unsurları olmaktadır. Mesela George Andrews’in kitabının hemen başında ifade ettiği


p(n I odd parts) = p(n I distinct parts)

özdeşliği bunun örneklerindendir.


Özdeşliği ve notasyonları biraz daha açarsak;


  • Herhangi bir n sayısının -odd parts- yani tek sayılar şeklinde parçalanması :

n I odd parts

  • Herhangi bir n sayısının -distinct parts- yani birbirinden farklı sayılar şeklinde parçalanması :

n I distinct parts olarak ifade edilir.

Burada ‘dikey çizgi’den sonraki kısım ‘belirli koşullar’ olarak belirttiğimiz husustur. Öte taraftan ‘p’ şeklinde bir notasyon ve eşitliğin kullanılma sebebi ise p’nin n sayısının belirtilen koşulda kaç farklı şekilde parçalanacığının niceliksel ifadesi olması ve bu niceliklerin eşitlenmesi dahilinde ‘özdeş’ durumun yakalanması olarak özetlenebilir.

Konuyu bir örnekle daha basit kavramaya çalışırsak;

Eğer n=3 deseydik; 1+1+1, 2+1, 3,

(*x+y ile y+x aynı parçalanıştır farklı bir parçalanış olarak sayılmaz)

Şeklinde ‘3’ sayısının üç farklı parçalanışını yazacaktık yani daha matematiksel bir dille ‘p(3)=3’ diyecektik.

Andrews’in kitabındaki ‘Euler Özdeşliği’ne dönersek 3’ü tek sayılar için ve birbirinden farklı sayılar için ayrı ayrı parçalayıp bunların kaç farklı şekilde olduğuna bakmamız gerek.

p(3 I odd parts) için; ‘1+1+1’ ve ‘3’ koşula uygun iki parçalanıştır diyebiliriz.

Burada sayıyı parçalayan parçaların çizginin sağında kalan koşula uygun olması gerektiğinden dolayı biraz yukarıda ‘n=3’ deseydik şeklinde verdiğimiz örnekteki ‘2+1’ durumunu dahil etmedik. Çünkü ‘p(3 I odd parts)’ diyerek bize 3’ü verecek toplama işlemindeki bütün parçaların tek olması hususunda ortaya bir koşul koyduk. Bu arada 3’ün salt kendi başına alınması akıllara ‘3 + 0’ örneğini getirmemelidir şayet yazının hemen başlangıcında bu işin içinde sıfır’ın olmayacağı konusunda anlaşmıştık.

Aynı yaklaşımları ‘p(n I distinct parts)’ için de uygularsak; ‘2+1’ ve ‘3’ parçalanışlarını alabiliriz.

Bu durumda ‘p(n I odd parts) = p(n I distinct parts)= 2’

şeklinde bir sonucu da pek tabi gözlemleyebiliriz.

Bu noktada gözlemleri fonksiyonel programlamanın nimetlerinden faydalanarak bilgisayara taşıyıp daha büyük sayılar için denemelere müsait hale getirebiliriz. Bunun için ‘Maxima’ adlı program gayet kullanılabilir bir araç olarak karşımıza çıkmaktadır.

Mesela ‘5’ sayısının yorulmadan parçalanışlarına bakmak için Maxima’da halihazırda varolan bir fonksiyon ‘integer_partitions’ı kullanarak sonuç alabiliriz.

Devamında tabi ‘p’ notasyonumuzun ifadesi üzere bu parçalanışın kaç farklı şekilde olduğuna dair bir sayıya ulaşmak isteyeceğizdir. ‘n=5’ durumunda bir bakışta sayılabilir bir nicelik gözükse de daha büyük sayılar için kullanılabilir bir fonksiyonun varlığına yine ihtiyaç duyuyoruz. Burada imdadımıza ‘cardinality’ ifadesi yetişmektedir. ’s’ olarak tanımladığımız 5’in parçalanışları çıktı’da görüldüğü üzere bir küme içinde diziler şeklinde verilmiştir. Dolayısıyla kümenin eleman sayısı bizim için p(5) ifadesini karşılayacaktır ve bu sebeple bu durum için ‘cardinality(s)=p(5)’ diyebiliriz.

Bu noktada belirtmek isterim ki her ne kadar şu an ‘n=5’ diyerek cimrilik yapsak da n yerine 30,40 gibi büyük sayılar yazdığımızda yukarıda görüldüğü gibi bir çıktı alamadan Maxima programı kendini kapatabilir yada bilgisayarın ısınmasından korkup biz Maxima’yı kapatabiliriz. Büyük sayılar için direkt çıktı vermek çok da işlevsel olamayabiliyor dolayısıyla bu durumda ’s:integer_partitions(n)’ olarak tanımladığımız sayı parçalanış kümemizin sonuna ‘$’ işareti koyarak hiç çıktı almadan ama ’s’ adında bir kümenin varlığında hesaplamalarımıza devam edebiliriz. Bu durumda da yine kümenin kardinalitesine ulaşır ve koymak istediğimiz birtakım koşulları çeşitli döngüler içinde kodlayabiliriz. Sayı parçalanışlarımızda yukarıda da bahsedilen Euler Özdeşliği üzerinden koşullar dahilinde Maxima ile sonuç alma işlemini başka yazılarda inceleyebiliriz. Konuyla alakalı referans kitap : George Andrews, Kimmo Erikson - Integer Partitions , Cambridge University Press.


#matematik #matematiktoplulugu

21 görüntüleme

©2020 Sabancı University IEEE Student Branch tüm hakları saklıdır!

  • Instagram
  • YouTube
  • Twitter
  • LinkedIn