• Rüştü Erciyes Karakaya

BANACH-TARSKİ PARADOKSU’NDAN HAREKETLE BİR ETİMOLOJİK ÖNERME

Matematikteki birtakım paradokslar yada problemler üzerinden birtakım fikri sonuçlara ulaşmak keyifli bir eylem gibi görünüyor. Bu paradokslardan biri olarak bizi derin düşüncelere sevk edebilecek Banach-Tarski paradoksu da bu hususta incelenebilir görünüyor. Tabi buradaki incelememi bir popüler bilim malzemesi olarak değil bir düşünce denemesi üzerine kurmaya çalışacağım. Banach-Tarski Paradoksu bilindiği üzere küme kuramsal incelemeler içeren ve de bu bağlamda değerlendirilen bir içeriğe sahip. Ne olduğuna gelecek olursak kısaca 3 boyutlu bir Öklid uzayında verilen küre-top’un sonlu sayıda ayrık alt kümelere parçalanması dahilinde bu kümelerden seçeceğimiz elemanlarla (Zermelo–Fraenkel küme kuramına göre elemanlar da bir kümedir! Ve boş küme bulunsun istemiyoruz.) bize başta verilen kürenin aynısı iki yeni küme daha oluşturmaya dayanan bir meseledir diyebiliriz. Tabi tanımda ve ifadede birtakım eksiklikler mevcut olabilir ama bu noktada beni mazur görünüz; nitekim esasında odaklanmak istediğim husus yukarıda da geçen ‘seçmek’ fiili olacaktır. ‘Seçim Aksiyomu’ dahilinde gerçekleştirilebilirliği söz konusu olan paradoks için işin ikna edici tarafı geometrik bir yorumdan ziyade tabiki daha cebirsel yani bu aksiyoma ve dolayısıyla kümeler kuramına dayanan kısmı olacaktır. Seçim aksiyomu elemanları boş küme olmayan bir kümeden bir fonksiyon dahilinde seçim yapmaya dayanan bir belit / aksiyomdur. Daha mantıki bir ifadeyle

A, B herhangi iki küme olmak koşulu ve P ⊆ A × B durumunda;

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P(x, y) ⇒ (∃f : A → B)(∀x ∈ A)P(x, f(x)).

Önemli ifadeleri toparlayacak olursak ‘seçmek’den, fonksiyon’dan ve ‘boş küme olmama’ durumundan bahsettik. Bu bağlamda aksiyom dahilinde Elemanları boş olmayan kümeler olan her kümenin bir seçim fonksiyonu vardır diyebiliriz. Burada seçimi yapacağımız kümenin sonlu olup olmadığı meselesi aksiyom üzerinde fonksiyon oluşturmak adına birtakım meselesi düşünmemizi gerektirebilir ama yukarıda da belirtildiği üzere Banach-Tarski Paradoksunda sonlu sayıda ayrık alt kümelere parçalanması durumuyla karşı karşıya kaldığımız için işimiz nispeten daha kolay bir durumdadır. Buradaki ayrık kümelerime X_n dediğim takdirde oluşturacağım ƒ(X_n ) fonksiyonu aksiyom adına çıktılar vermeye hazır duruma kolayca getirilebilir gözüküyor. Her kümeden x_n elemanını seçmem dahilinde

ƒ(X_n ) = x_n => x_n ’leri içeren {x0 , x1 , x2 , ... } nesnesini elde edebilirim. Bu noktada bu nesnenin küme belirtip belirtmediği küme kuramının konusu olmakla birlikte belirli bir kural ortaya koymadan oluşturduğum fonksiyon dahilinde böyle bir nesneye ulaşmam doğal olarak seçim aksiyomuyla ilgilidir. Çünkü böyle bir fonksiyonun varlığını-mümkünlüğünü bize haber veren bir aksiyomdan bahsediyoruz, kuralının olup-olmaması bu noktada mühim değil.

Tüm bu kısa, ayrıntısız tekristen sonra aşağıda belirtildiği üzere oluşturulan küreler,




V hacimden 2V hacim doğurmuş gibi gözükmektedir. Sanırım mesele biraz da bu noktada düğümleniyor. Oklid Geometrisi dahilindeki basit geometrik sezgilerle çelişen bu mesele kendi iç dinamiklerindeki akli ilkelerde gayet çalışmaktadır. Yani kümeler kuramının kendi iç dünyasında seçim aksiyomu ve Lebesque’nin birtakım kavramlarıyla bize çalışır-mümkün çıktılar verebilen mesele basit geometrik sezgilere gelince takılmaktadır. Acaba bu noktada tarafları formalist yaklaşım ve entüisyonist yaklaşım olarak ayırabilir miyiz? Eğer bu noktada böyle bir yaklaşımda bulunursak muhtemelen bizahiti ‘akıl’ kavramının ötesinde daha geniş kalibrede bir kavrama ihtiyaç duyacağız. Önceki cümlede özellikle bu noktaya gelmek için kullandığım ‘iç dinamik’, ‘akli ilke’ gibi kavramların çalışması ve sezgilerle çatışması durumu pek çok açıdan değerlendirilebileceği gibi ‘akıl’ kavramı için acaba dar bir bağlama mı sıkıştırılıyor sorusunu beraberinde getirmektedir. Çünkü hacimle alakalı olan geometrik yorumu da tamamen sezgisel bir yaklaşım olarak sıkıştıramayacağımız ortada, ‘akıl’ her noktada müdahil. Peki bu bağlamda ‘akıl’ kavramına daha geniş bir önerme getirebilir miyiz? İngilizce Online Etimoloji sözlüğü olarak bilinen ‘Etymonline’, ‘conscience’ sözcüğünü ‘ faculty of what is right’ olarak imliyor. Aslında biz de, bir anlamda, ‘faculty of what is right’ ifadesine ihtiyaç duymuyor muyuz? Tabi bu ifade sitede de belirtildiği üzere 1200’lü yıllarda Kilisenin etik bağlamda kullandığı bir sözcük fakat semantik bağlarından koparılmadan Türkçeye de uyarlanması bazı hususlarda bizi rahatlatabilir. Açıkçası ‘sağduyu’ sözcüğünün tam olarak bunu karşıladığını düşünmüyorum. Sanırım bu çerçevede mesele etimolojik bir husus olarak da incelenebilir.

Ne dersiniz?


*Seçim Aksiyomuyla alakalı olarak daha geniş bilgiye Türkiye Bilimler Akademisi’nin (TÜBA) açıkders platformu için Ali Nesin Hoca tarafından hazırlanan şu notlardan ulaşabilirsiniz : https://acikders.tuba.gov.tr/pluginfile.php/572/mod_resource/content/0/hafta_15.pdf

17 görüntüleme

©2020 Sabancı University IEEE Student Branch tüm hakları saklıdır!

  • Instagram
  • YouTube
  • Twitter
  • LinkedIn